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Vorhersage der Zielzeit vom Radzeitfahren mit Hilfe eines Mathematischen Modells

Jonas Ebbecke 1

Zuletzt aktualisiert am 15. Juni 2020

von Jonas Ebbecke, Jeroen van der Knaap, Wessel van Veenen, Leonard Arnold

Einleitung

Die Leistung im Radsport ist das Ergebnis der physiologischen Kapazität des Athleten und des gewählten Rades/Materials und deren Zusammenspiel.
Vorhergegangene Experimente wurden durchgeführt, um mehrere physiologische Parameter für eine Testperson zu ermitteln. Dazu gehören die funktionelle Schwellenleistung (FTP) und die kritische Leistung (CP) in Watt, die einen Hinweis darauf geben, wie viel Leistung in Watt die Testperson aerob erzeugen kann. Auch die anaerobe Kapazität W‘ in kJ wurde ermittelt. Darüber hinaus wurde die Interaktion zwischen dem Radfahrer und dem Fahrrad untersucht, indem der aerodynamische Widerstand für verschiedene Fahrerpositionen bei verschiedenen Geschwindigkeiten sowie für verschiedene Fahrrad-Setups bestimmt wurde.
Durch die Kombination der auf das Fahrrad wirkenden Antriebs- und Widerstandskräfte kann eine Vorhersage über die Leistung des Radfahrers während eines Zeitfahrens getroffen werden. Diese Untersuchung zielt darauf ab, eine Schätzung der Zeit, die benötigt wird, um ein 400 m langes Zeitfahren zu beenden, zu validieren, die mit Hilfe eines mathematischen Modells erstellt wurde, das auf der physiologischen Kapazität des Radfahrers und den auf ihn wirkenden Widerstandskräften basiert. Die Vorhersage wird für drei verschiedene Rad-Setups gemacht. Beim ersten Setup ist der Fahrer mit den Händen in den Bremsgriffen, beim Zweiten verwendet der Fahrer von Aero-Extensions zur Verringerung der Stirnfläche und im dritten Setup verwendet der Fahrer ebenfalls die Extensions sowie ein selbstgebautes Scheibenrad. Die Vorhersage des ersten Setups (Bremsgriffe) wird mit einem Feldversuch mit Bedingungen verglichen. Dieser Versuch dient der Validierung der modellbasierten Vorhersage.

Methoden

Mathematisches Modell
Für die Vorhersage des Zeitfahrens verwenden wir eine Vereinfachung des von Martin und Kollegen (1998) beschriebenen Modells. Dieses Modell zur Vorhersage der Zeit bis zur Beendigung eines 400m-Zeitfahrens kann durch die folgende Leistungsgleichung beschrieben werden:

(1)\hspace{1cm} P_{total} = P_{roll} + P_{kin} + P_{drag}

wobei die Gesamtleistung P_{total} mit einem Leistungsmesser gemessen wird und die Summe aus der zur Überwindung des Rollwiderstands P_{roll} erforderlichen Leistung, der zur Änderung der kinetischen Energie P_{kin} erforderlichen Leistung und der zur Überwindung der Luftwiderstandskräfte P_{drag} erforderlichen Leistung ist. Hierbei wird P_{troll} durch Gleichung 2 beschrieben.

(2)\hspace{1cm} P_{roll} = m * \mu * g * v

wobei m die Masse des Fahrers und des Fahrrads ist (m = 73kg), \mu der Rollreibungskoeffizient (\mu = 0. 005988) ist, g die Erdbeschleunigung (g = 9,81 \frac{m}{s^2})ist und v die Geschwindigkeit, die vorhergesagt und im Validierungszeitfahren mit einem GPS-Gerät gemessen werden soll. Für das Modell nehmen wir eine konstante Windgeschwindigkeit von 2 \frac{m}{s} an, welche die Windgeschwindigkeit vom Tag des Validierungsversuchs ist. Diese Geschwindigkeit wird von der Website mywindsock.com verwendet, die Windinformationen für jede Straße auf einer Karte liefert.
P_{kin} kann durch Gleichung 3 beschrieben werden.

(3)\hspace{1cm} P_{kin} = m * v * a

wobei a die Beschleunigung des Fahrers und des Fahrrads ist, die sich in der Vorhersage ebenfalls im Laufe der Zeit verändern werden. P_{drag} kann durch Gleichung 4 beschrieben werden.

(4)\hspace{1cm} P_{drag} = 0.5 * v^3 * \rho * C_d * A_P

wobei \rho der Luftdruck ist, der über die aktuelle Wetterinformation erfasst wurde (\rho = 1,1225 \frac{kg}{m^3} ), C_d der Luftwiderstandskoeffizient und A_P die Stirnfläche ist. A_P kann für ein bestimmtes Setup auf dem Fahrrad bestimmt werden, indem man ein Foto des Fahrers und seines Fahrrads von vorne aufnimmt und die Anzahl der Pixel zählt, die beides darstellen. Aus einem Kalibrierobjekt mit bekannten Maßen kann dann die Größe eines einzelnen Pixels und damit auch die Größe der Frontfläche bestimmt werden. Die Werte für das Bremsgriff-Setup betrugen A_P = 0,425m^2 und für das Aero- sowie das Scheibenrad-Setup A_P = 0,314m^2 . Der Luftwiderstandswert C_d und der Rollwiderstandswert können mit einem Verfahren der linearen Regressionsanalyse bestimmt werden, der von Debraux et al. (2011) erläutert wird, wobei C_d unter Verwendung der Steigung a der linearen Regressionsgleichung berechnet werden kann.

(5)\hspace{1cm} C_d = \frac{a}{0.5*\rho*A_P}

Hier kamen wir zu C_d = 0,845 in der Bremsgriffposition, C_d = 1,001 in der Aero-Position und C_d = 0,844 in der Aero-Position plus das Scheibenrad. \mu kann dann mit dem Schnittpunkt b der Regression bestimmt werden.

(6)\hspace{1cm} \mu = \frac{b}{m*g}

wobei wir einen Durchschnittswert von \mu = 0,005988 fanden, der als konstant angenommen werden kann. Nun sind alle Parameter für das Modell gegeben, das in seiner Gesamtheit mit Gleichung 7 beschrieben werden kann.

(7)\hspace{1cm} P_{total} = m * \mu * g * v + m * v * a + 0.5 * v^3 * \rho * C_d * A_P

Die Mindestzeit, die unser Athlet für eine bestimmte Distanz benötigt, wird durch die maximale Durchschnittsgeschwindigkeit v bestimmt. Diese hängt davon ab, wie viel Leistung der Athlet im Durchschnitt aufbringen kann (P_{total}). Um dies zu bestimmen, müssen die physiologischen Kapazitäten berücksichtigt werden.

Physiologische Kapazität
Die physiologische Kapazität wird durch das aerobe und anaerobe System beschrieben. Dieses System wird mit einem FTP-Test und einem 3-minütigen All-out CP-Test bestimmt.
Der FTP-Test schätzt dabei die aerobe Kapazität des Sportlers. Der Athlet führt einen 20-minütigen Bestleistungstest durch, der 95% seiner 60-minütigen Maximalleistung (FTP) widerspiegelt. Basierend auf diesem Test wird der VO_{2}max mit der folgenden Regressionsgleichung berechnet (Denham et al., 2017):

(8)\hspace{1cm} VO_{2}max = age * -0.313 + FTP [W*kg^{-1}] * 11.733+27.056

Here, we found VO_{2}max = 73.6 [ml*kg^1*min^{-1}]

Ein 3-minütiger Critical Power Test wurde zur Schätzung der anaeroben Kapazität W‘ verwendet, wie von Vanhatalo und Kollegen beschrieben (2007). W‘ ist die Energiemenge, die dem Athleten anaerob zur Verfügung steht. Um genauer zu sein, ist dieser 3-minütige Test mit einem erweiterten Wingate-Test vergleichbar. Der Athlet muss anfangs so stark wie möglich in die Pedale treten und versuchen, die Leistung aufrecht zu erhalten. Dabei wird zunächst die anaerobie Kapazität geleert sodass die durchschnittliche Leistung der letzten 30 Sekunden dieses Tests die CP darstellt. Die Energie W‘ , die oberhalb der CP eingesetzt wird, wird vom anaeroben System bereitgestellt. Um diese Energiemenge zu berechnen, wurde das Integral der kritischen Leistung über die drei Minuten vom Integral der gesamten Leistungskurve des Tests subtrahiert. Hier fanden wir W' = 22,5 kJ mit CP = 301 W.
Die maximale Leistungsabgabe des aeroben und anaeroben Systems ist in Gleichung 9 dargestellt.

(9)\hspace{1cm} P(t) = \frac{W'}{t}+CP

Vorhersage
Die Zeit, die benötigt wird, um ein 400-m-Zeitfahren zu beenden, soll mit Hilfe des oben beschriebenen mathematischen Modells vorhergesagt werden. Um die Vorhersage zu erleichtern und damit sie später auch durch ein Experiment validiert werden kann, haben wir die folgenden Annahmen getroffen:

  • flache, glatte Straße
  • konstanter Gegenwind zum Zeitpunkt des Ereignisses von v_{wind}=2 \frac m s (gemessen von mywindsock.com)
  • die anaerobe Kapazität kann in 400 m nicht vollständig entleert werden
  • Anfangsgeschwindigkeit von v_{0}=0 \frac m s
  • Leistungsausgänge von 3-minütigen Tests können wiederholt werden

Der Start erfolgt aus dem Stand, so dass der Fahrer und das Fahrrad zunächst auf das Maximum beschleunigt werden müssen. Um die vom Athleten erreichten Geschwindigkeiten zu berechnen, haben wir einen numerischen Ansatz mit Zeitschritten von 1 Sekunde gewählt (Gleichung 10). Die erzeugte Leistung für jeden Zeitschritt wurde aus dem 3-minütigen All-Out-Test entnommen, um die Geschwindigkeiten für jeden Zeitschritt zu berechnen. Bei der Vorhersage gingen wir davon aus, dass diese Leistung wiederholt werden kann und zu jedem Zeitschritt der Summe der Leistung zur Überwindung von Rollreibung, Luftwiderstand und Änderungen der kinetischen Energie entspricht.

(10)\hspace{1cm} P_{total}(t) = m * \mu * g * v(t) + m * v(t) * a(t) + 0.5 * v(t)^3 * \rho * C_d * A_P

In einem zeitdiskreten Modell kann die Beschleunigung als a(t+1) = \frac{ v(t+1)-v(t)} t beschrieben werden. Nun kann eine Geschwindigkeitsänderung in Abhängigkeit von der Anfangsgeschwindigkeit und der aktuell möglichen Ausgangsleistung geschrieben werden. Alle Berechnungen wurden mit MATLAB [The MathWorks, Inc] durchgeführt. Das vollständige dafür verwendete Skript ist im Anhang zu finden.

Ergebnisse

Mit Hilfe des mathematischen Modells haben wir die Endzeit für das Zeitfahren für die Position in den Bremsgriffen, die Position in den Extensions und die Position din den Extensions und mit dem Scheibenrad geschätzt. Der Validierungstest wurde nur für das Bremsgriff Setup durchgeführt, und die Schätzungen für alle drei Aufstellungen sind unten in Abbildung 1 zu sehen.

Abbildung 1: Vorhergesagte Geschwindigkeitskurven über die Zeit für die drei Testbedingungen

Abbildung 2 zeigt die vorhergesagten Geschwindigkeiten für das Bremsgriff Setup im Vergleich zu den im Validierungsversuch gemessenen Geschwindigkeiten über die Zeit bis zum Erreichen der Ziellinie. Die geschätzte Zielzeit für das 400-m-Zeitfahren war t_{end} = 33 s. Die gemessene Endzeit für das 400-m-Validierungszeitfahren betrug t_{end} = 32 s. Dies entspricht einem Vorhersagefehler von \delta = 3\%.

Abbildung 2: Vorhergesagte Geschwindigkeitskurve über die Zeit vs. gemessene Geschwindigkeitskurve über die Zeit des Validierungsversuchs

Außerdem wich die gemessene Leistungskurve ein wenig von den vorhergesagten Werten ab, wie in Abbildung 3 zu sehen ist. Bei der Vorhersage gingen wir davon aus, dass die Leistungskurve aus dem 3-minütigen All-out-Test reproduziert werden kann. In Wirklichkeit führte das Schalten der Gänge zu Einbrüchen innerhalb dieser Kurve.

Abbildung 3: Vorhergesagte Leistungskurve vs. gemessene Leistungskurve über die Zeit

Diskussion

Das Ziel dieser Studie war es, ein mathematisches Modell zu entwerfen, um die Zeit vorherzusagen, die unser Athlet für ein 400-m-Zeitfahren benötigen würde. Anschließend sollte dieses validiert werden, indem man die Testperson ein tatsächliches Zeitfahren durchführen lässt. Die vom Modell vorhergesagte Zeit variierte im Vergleich zur realen Zeit lediglich um 1 Sekunde, was einem Vorhersagefehler von \delta = 3\% entspricht und somit definitiv in einem angemessenen Bereich liegt.

Dieser Unterschied lässt sich durch die Struktur der Studie selbst erklären. Auf der einen Seite haben wir ein theoretisches mathematisches Konstrukt und auf der anderen Seite ein realistisches Szenario mit Variablen, die nicht unbedingt vorhergesagt werden können. Diese Variablen sind unter anderem:

  • der Fahrer musste zu bestimmten Zeitpunkten schalten, was in der Leistungskurve der Vorhersage nicht berücksichtigt wurde
  • der Wind war während des Tests nicht unbedingt konstant
  • der Asphalt war anders als der zur Bestimmung des Rollwiderstands verwendete
  • Die Tagesform des Athleten kann sich von der zur Bestimmung der physiologischen Kapazität verwendeten Form unterscheiden.
  • Die Effizienz der Rad/Kurbel-Lagerung und der Kette wurde nicht berücksichtigt.

Natürlich könnten wir versuchen, Näherungswerte für diese Variablen zu finden und sie in das Modell zu integrieren, aber dies würde die Komplexität des Modells erheblich erhöhen und das Ergebnis wäre wahrscheinlich nicht genauer als das, das wir erhalten haben. Hinzu käme, dass ein komplexeres Modell auch mit einer schlechteren Verallgemeinerung der Vorhersagen einherginge.

Fazit

Das vorgeschlagene mathematische Modell kann Endzeiten für das Zeitfahren mit kurzen Belastungen, bei denen die anaerobe Energie nicht entleert werden kann, für einen Athleten valide vorhersagen. Außerdem ist das Modell nur für gerade, ebene Straßen mit konstanten Umweltbedingungen (Wind, Rollreibung) geeignet. Für komplexere Strecken muss das Modell entsprechend angepasst werden.

Referenzen

Debraux, Pierre & Grappe, Fred & Manolova, Aneliya & William, Bertucci. (2011). Aerodynamic drag in cycling: Methods of assessment. Sports biomechanics / International Society of Biomechanics in Sports. 10. 197-218. https://doi.org/10.1080/14763141.2011.592209

Denham, J., Scott-Hamilton, J., Hagstrom, A. D., & Gray, A. J. (2017). Cycling Power Outputs Predict Functional Threshold Power And Maximum Oxygen Uptake. Journal of Strength and Conditioning Research, 1. https://doi.org/10.1519/jsc.0000000000002253

Martin, J. C., Douglas, M. L., Cobb, J. E., McFadden, L. K., & Coggan, A. R. (1998). Validation of a Mathematical Model for Road Cycling Power. Journal of Applied Biomechanics, 276-291. https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/28121252/

Vanhatalo, A., Doust, J. H., & Burnley, M. (2007). Determination of Critical Power Using a 3-min All-out Cycling Test. Medicine & Science in Sports & Exercise, 39(3), 548–555. https://doi.org/10.1249/mss.0b013e31802dd3e6

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